Fracción

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)¹ es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Tres cuartos más un cuarto

Representación y modelización de fracciones

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común el denominador b representa la cantidad de partes iguales en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es el entero.

Representación gráfica y analítica

Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.

Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

• Notación y convenciones:
• en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
• una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o , pero no 3/-4);
• una fracción genérica a/b representa el producto de a por él recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que ; si tanto a como b son números negativos  , el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
• toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».

La expresión genérica representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b ); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

• Ejemplos

; 3/4; ³/₄; (¾); fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;

; Fracción: numerador x² y denominador (x+3) (x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x.

Clasificación de fracciones

1/2 un medio 1/3 un tercio 1/4 un cuarto 1/5 un quinto 1/6 un sexto 1/7 un séptimo 1/8 un octavo 1/9 un noveno 1/10 un décimo 1/11 un onceavo 1/12 un doceavo

• Según la relación entre el numerador y el denominador:
• Fracción mixta: suma abreviada de un entero y una fracción propia: ¼ , ½ ,
• Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador:
• Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador:
• Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada:
• Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada:
• Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: y  ; y  ;
• Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros:  ;
• Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
• Según la escritura del denominador:
• Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada:
• Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: y  ; y
• Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: y  ; y ;
• Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: , con a un entero positivo y n un natural.
• Fracción continua: es una expresión del tipo: .
• Según la escritura del numerador:
• Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
• Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
• Fracción gradual² :
• Otras clasificaciones:
• Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.
• Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.
• Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios.

Nota: Una fracción irracional es un término auto contradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Cálculo aritmético

Ejemplo de fracción aparente.

• Algoritmo para la suma o resta:

• Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto:

Fórmula para el cociente:

Número mixto

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.³

Toda fracción impropia puede escribirse como número mixto: ^a/_b, en donde ^a/_b denota (donde , es la parte entera).

• Ejemplos:

«Una cucharadita y media de...»

«En una hora y cuarto...»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.⁴

Fracción irreducible

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador no son primos entre sí), esta siempre se puede reducir (i.e. simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador son coprimos.

Fracción equivalente

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distintos.

• Ejemplo:

Las fracciones ,   y son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

• Ejemplos:

En donde .

En donde .

El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la única fracción equivalente irreducible del conjunto.

Fracción como porcentaje

Artículo principal: Porcentaje.

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100: utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.

• Ejemplos:

La expresión de un número por mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.

Una parte por billón (notado ppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.

Historia

En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.5 Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc., de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El jeroglífico de una boca abierta Denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60. El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. Diofanto de Alejandría (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones vulgares o comunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.

Khwarizmi introduce las fracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en su Liber Abaci (Libro del Ábaco² ), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como fracciones egipcias, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos.

Cronología6
Año	Acontecimiento
1800	Registro de uso de fracciones por el Imperio Babilónico.
1650 a.C.	Sistema de fracciones egipcias.
500-600 d.C.	Aryabhata y Brahmagupta desarrollan las fracciones unitarias.
100	Sistema chino de cálculo de fracciones con varillas (Suanpan).
1202	Fibonacci difunde la notación con barra para separar numerador y denominador.
1585	Teoría sobre las fracciones decimales de Simón Stevin.
1700	Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblicua).

Fracción decimal

Véase también: Representación decimal.

Una fracción decimal es una fracción del tipo , es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por un potencia apropiada de (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.

Se cree que las fracciones decimales eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y que de ahí se extendió su uso a medio Oriente y Europa.⁷ J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X.⁸

Khwarizmi introduce las fracciones al mundo islámico a comienzos del siglo IX. Su representación de las fracciones está tomada de la matemática tradicional china. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y en el siglo XV por Jamshīd al-Kāshī en su trabajo La llave aritmética.

El uso moderno fue definitivamente introducido por Simón Stevin en el siglo xvi.⁹

Fracción continúa

Artículo principal: Fracción continua.

Se llama fracción continua de orden n a una expresión de la forma:

En donde es una sucesión de enteros positivos.

Las fracciones continuas proporcionan una escritura alternativa de los números reales. Históricamente, fueron utilizadas por los matemáticos indios desde el siglo VI. También fueron estudiadas por los matemáticos árabes como Brahmagupta, e introducidas en Europa en el siglo XVII, gracias a los trabajos de Pierre de Fermat y Christiaan Huygens, entre otros.

Fracción unitaria

Artículo principal: Fracción unitaria.

Una fracción unitaria es una fracción común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero positivo: Las fracciones unitarias son los recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de los enteros positivos).

• Ejemplos:

La serie armónica :

La serie geométrica:

Las fracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las fracciones unitarias.

Fracción egipcia

Artículo principal: Fracción egipcia.

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionales.

Se le llama fracción egipcia al tipo de representación de fracciones utilizado en el Antiguo Egipto. Una fracción común -positiva- se escribe por medio de una suma de fracciones unitarias distintas, es decir que ninguno de los sumandos tiene el mismo denominador.

Ejemplos:

Todo número racional positivo se puede expresar como suma de fracciones unitarias (es decir, como fracción egipcia), si bien la representación no es única, como se aprecia en el ejemplo. Las fracciones egipcias fueron utilizadas también por los matemáticos griegos y durante la Edad Media. El matemático medieval Fibonacci (en su Liber abaci) describe su uso y las desarrolla dentro del marco moderno de las series matemáticas.

Véase también

División (matemática) Número racional Número decimal		Fracción continua Fracción unitaria Fracción egipcia Fracción irreducible	Historia de la matemática Sistema de numeración Sistema de numeración decimal
Clasificación de números Complejos Reales Racionales Enteros Naturales Naturales primos Naturales compuestos Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios puros

Fraction
In mathematics, a fraction, fractional number, or broken (the Latin word Fractus fractio-Onis broken or cracked) 1 is the expression of a number divided by another number that is not representing a ratio of numbers made. For historical reasons, also called common fraction, vulgar fraction or decimal fraction. The mathematical set the fractions containing the set of rational numbers, denoted.

More generally, we can extend the concept of fraction to a ratio any mathematical expressions (not necessarily numbers).

Three quarters plus a quarter

Representation and modeling of fractions

 
Numerator and denominator

Fractions consist of: numerator, denominator and divide between the two (horizontal bar or oblique). In a common fraction the denominator b represents the number of equal parts into which the unit has been split, and the numerator is the integer.

Graphical and analytical

As removed 1/4 of the pie, he still has 3/4.

Often used circles or rectangles (representing the unit) divided into as many parts as specified by the denominator, and colored (or omit) many of these parts as specified by the numerator.

ü    Notation and conventions:

·          a common fraction, the denominator is read as partitive (examples: 1/4 is read "fourth", 3/5 is read "three fifths");

·          a negative fraction is written with a minus sign in front of the fraction (examples: -1 / 4

·          but 3/-4);

·         a generic fraction a / b represents the product of A by the reciprocal (multiplicative) of b, so that, if both a and b are negative numbers, the product is positive, it is written: a / b;

·         any mathematical expression written in this way is called a "fraction".

The generic term is a division algebra, so the divisor must be nonzero (b) the quotient of this division supports a decimal expansion (a decimal number, in the traditional decimal numbering system) which can be finite or infinite newspaper (see Number newspaper).
An irrational number can not handle writing as fractional number, its decimal expansion is infinite non-periodic.

A common fraction is a rational number, so common fractions inherit all properties of rational mathematics.

 Examples 3/4, 3/4, 3/4, (¾); fraction three quarters: 3 numerator and denominator 4 represents the decimal number 0.75, in percentage: 75%; Fraction: numerator and denominator x ² / (x +3) (x-3), the decimal value depends on the value of the variable x.
Fractions Sorting

 1/2 a Half

1/3 a Third

¼ Fourth quarter

1/5 Fifth fifth

1/6 a Sixth

1/7 a Seventh

1/8 a Eighth

1/9 Ninth ninth

1/10 Tenth

1/11 An eleventh

1/12 Twelfth twelfth

•      According to the relationship between the numerator and denominator:

*       Mixed Fraction: Brief sum of an integer and a proper fraction: ¼, ½,
proper fraction or fraction in which the denominator is greater than the numerator:

*       improper fraction: fraction where the numerator is larger than the denominator:

*       reducible fraction: fraction where the numerator and denominator are relatively prime and can be simplified:

*       irreducible fraction: fraction where the numerator and denominator are relatively prime, and therefore cannot be simplified:

*       reverse Fraction: fraction obtained from another given, which have invested the numerator and denominator: y, y;

apparent fraction or whole fraction that represents any number in the set of integers:

composite Fraction: fraction whose numerator or denominator (or both) in turn contains fractions.

• According to the writing of the denominator:
* equivalent fraction: which has the same value as another given:
* homogeneous Fraction: fractions with the same denominator: y, and
* heterogeneous Fraction: fractions having different denominators: and and;
* decimal fraction: the denominator is a power of ten: 1/10, 2/100 ... In general, with a positive integer n is a natural. 
* continuous fraction: is an expression of the type:.

• According to the writing of the numerator:
* unit fraction: a common fraction numerator 1.
* Egyptian Fraction: system representation of fractions in Ancient Egypt in which each fraction is expressed as a sum of unit fractions.
* Fraction gradual2:
• Other classifications:
* fraction as a percentage: A percentage is a way to express a number as a fraction of 100% using the percentage sign.
* Fraction as a reason: see proportionality and rule of three for their relationship a couple of issues that may come from a comparison.
* partial fraction: see method of partial fractions to reduce a quotient of polynomials.
Note: A fraction is a term irrational self-contradictory (since all fractions must be able to be expressed as fractions vulgar). An irrational number is, by definition, not rational, ie can not be expressed as a vulgar fraction.
Computation

Example apparent fraction.
• Algorithm for the addition or subtraction:

• Algorithm for multiplication and division:
Formula for product:
Formula for the ratio:
Mixed number
A mixed number is a representation of an improper fraction as a whole number and proper fraction, is a practical way to enter units of measure (weight, time, capacity), recipes, etc.3
Any improper fraction mixed number can be written as: a / b, where a / b denotes (which is the integer part).• Examples:

 'A teaspoon and a half of ... »
 "In an hour and a quarter ...»
From a certain level of elementary algebra, mixed notation usually replaced by improper fractions, which are more operacionales.4
Irreducible fraction
Given a reducible fraction (the numerator and denominator are relatively prime), this can always be reduced (ie simplify) to obtain an equivalent fraction irreducible. The notion of irreducible fraction generalizes to the quotient of any unique factorization domain any element of this body can be written as a fraction in which the numerator and denominator are coprime.
Equivalent fraction
Two or more fractions are equivalent if they represent the same amount, and are written different.
• Example:
Fractions and are equivalent, since they represent the amount 'half'.
Two fractions are equivalent if one can be obtained from the other by multiplying (or dividing) by one.
• Examples:
 Where.
 Where.
The set of all fractions equivalent to a given fraction called rational number, and is often represented by the equivalent single irreducible fraction of the whole.
Fraction as a percent
Main article: Percentage.

A percentage is a way of expressing a number as a fraction of 100: using the percentage sign%, to be written immediately after the number referred to, while gap.
• Examples:
The expression of a number per thousand (1000 ‰), is a way to express it as a fraction of 1.000, * a tenth of a percentage, is written with the sign ‰.
One part per billion (ppb noticed) is a unit of measurement to express extremely small concentrations.

History
In Ancient Egypt was estimated using fractions whose denominators are positive integers, are the first to represent the fractions used "parts of a whole" through the concept of reciprocal of a number entero.5 This amounts to consider fractions as half , third, fourth, etc.., hence the sums of unit fractions are known as Egyptian fraction. It can be shown also that any positive rational number can be written as a fraction Egyptian. The hieroglyph of an open mouth


Denoted the slash (/), and a digital art written under the "open mouth", denoting the denominator of the fraction.
The Babylonians used fractions whose denominator was a power of 60. The Chinese system of numbering rods allow the representation of fractions. The Greeks and Romans also used unit fractions, the use of which persisted into the Middle Ages. Diophantus of Alexandria (fourth century) wrote and used fractions. Subsequently introduced the "horizontal line" separating numerator and denominator and the numerator stopped only restricted to number one, giving rise to calls vulgar or common fractions. Finally, we introduce the "decimal fractions", where the denominator is written as a power of ten.
Khwarizmi introduces the factions in Islamic countries in the ninth century. The way to represent fractions came from traditional Chinese representation, with the numerator above the denominator, but without spreader bar. Leonardo of Pisa (Fibonaccci) in his Liber Abaci (Book of Ábaco2), written in 1202, contains a theory of fractional numbers. The fractions were presented as Egyptian fractions, namely as the sum of fractions with numerators and denominators repeated unit.
Cronología6

Year Event
1800 Registration fractions using the Babylonian Empire.

1650 B.C.
Egyptian fractions System.
A.D. 500-600
Aryabhata and Brahmagupta develop unit fractions.

100 Chinese System fraction calculation with rods (suanpan).

1202 Fibonacci notation diffuses slash to separate the numerator and denominator.
1585 Theory of decimal fractions of Simon Stevin.

1700 Widespread use of fractional line (horizontal or oblique bar).
Decimal fraction
A decimal fraction is a fraction of the type, ie a fraction whose denominator is a power of 10. By convention, we take a positive. Decimal fractions are commonly expressed without a denominator, with use of the decimal point, ie as exact decimal number (for example: 8/10, 83/100, 83/1000 and 8/10000 are written 0.8, 0.83, 0.083 and 0.0008) . Conversely, a finite decimal number (or integer) can be written as a decimal fraction by simply multiplying by an appropriate power of (For example: 1 = 10/10 1.23 = 123/100). A decimal fraction is not necessarily irreducible.
It is believed that decimal fractions were known to Chinese mathematicians in the first century, and from there it spread to the Middle East use and Europe.7 J. Lennart Berggren notes that a positional system with decimal fractions was used by the Arab mathematician Abu'l-Hasan al-century Uqlidisi X.8
Khwarizmi introduces the fractions to the Islamic world in the early ninth century. Their representation of fractions is taken from traditional Chinese mathematics. This way of writing fractions with the numerator and denominator top down, without horizontal bar, was also used in the tenth century by Abu'l-Hasan al-Uqlidisi and in the fifteenth century by Jamshid al-Kashi in his work The key arithmetic.
The modern use was introduced by Simon Stevin definitely in Century XVI.9
Continued fraction
Continued fraction is called na order an expression of the form:

Where is a sequence of positive integers.
Continued fractions provide an alternative script of real numbers. Historically, they were used by Indian mathematicians since the sixth century. Were also studied by Arab mathematicians as Brahmagupta, and introduced in Europe in the seventeenth century, through the work of Pierre de Fermat and Christiaan Huygens, among others.
Unit fraction
A unit fraction is a common fraction in which the numerator is 1 and the denominator is a positive integer: unit fractions are multiplicative reciprocals of natural numbers (ie positive integers).
• Examples:
The harmonic series:
The geometric series:
Egyptian Fractions are another example of application of unit fractions.
Egyptian Fraction

The eye of Horus (udjat) contains the hieroglyphic symbols of the first rational numbers.
Egyptian fraction is called the type of representation of fractions used in ancient Egypt. A common fraction-positive-written by a sum of distinct unit fractions, ie none of the summands have the same denominator.
Examples:
•

•

•

All positive rational number can be expressed as the sum of unit fractions (ie as Egyptian fraction), although no representation is unique, as shown in the example. Egyptian Fractions were also used by the Greek mathematicians and during the Middle Ages. The medieval mathematician Fibonacci (in his Liber abaci) describes its use and developed within the framework of modern mathematics series.
See also
• Division (mathematics)
• Rational number
• decimal number
• Continuous Fraction
• unit fraction
• Egyptian Fraction
• Fraction irreducible
• History of mathematics
• Numbering System
• decimal numbering system

Classification numbers

Complexes
Royals
Rational
Whole
Natural
Natural cousins

Natural compounds



Zero

Negative integers



Fractional
Proper fraction

Improper fraction





Irrational
Irrational algebraic

Transcendent





Pure imaginary